Zadanie 11
Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD, w którym |AB| > |CD| oraz ramię BC ma długość 6. Na tym trapezie opisano okrąg o promieniu R = 5. Miary kątów BAC i ABC tego trapezu spełniają warunek
sin|∡BAC| / sin|∡ABC| = 5/8
Oblicz pole i obwód trapezu ABCD.
Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: |AC| = 9.6; Wysokość trapezu = 5.76; |AB| = 9.36; Pole = 44.2368; Obwód = 27.36
Trapez wpisany w okrąg jest równoramienny, a okrąg jest też opisany na trójkącie ABC. α = ∡BAC, β = ∡ABC.
Tw. sinusów: |BC|/sin α = 2R, sin α = 6/10 = 3/5, cos α = 4/5.
sin β = 8/5 · sin α = 24/25, cos β = 7/25.
|AC| = 2R sin β = 9,6, wysokość h = |AC| sin α = 5,76 (albo h = 6 sin β).
|AB| = 2R sin(α + β) = 10 · (3/5 · 7/25 + 4/5 · 24/25) = 10 · 117/125 = 9,36.
Rzut ramienia: 6cos β = 1,68, więc |CD| = 9,36 − 3,36 = 6.
P = (9,36 + 6)/2 · 5,76 = 44,2368; obwód = 9,36 + 6 + 6 + 6 = 27,36.
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Planimetria” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, próbna grudzień 2022, zad. 11. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.