Zadanie 2.2
Funkcja g jest określona wzorem g(x) = |−(1/4)x² + 3x − 5| dla każdego x ∈ ℝ.
Fragment wykresu funkcji g w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono na rysunku (jednostki pominięto).
Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru m, dla których równanie g(x) = |m| ma dokładnie dwa rozwiązania dodatnie.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: g(0) = 5; Lokalne maksimum g (wartość w wierzchołku) = 4; Zbiór wartości m = (−5; −4) ∪ {0} ∪ (4; 5)
g(0) = 5, a wierzchołek paraboli f to (6, 4) – lokalne maksimum g równe 4. Dla x > 10 g rośnie nieograniczenie.
Dla x > 0 wykres g: od 5 (dla x → 0) maleje do 0 w x = 2, rośnie do 4 w x = 6, maleje do 0 w x = 10, potem rośnie.
Równanie g(x) = k ma dokładnie dwa rozwiązania dodatnie dla k = 0 (x = 2, x = 10) oraz dla 4 < k < 5.
k = |m|: m = 0 lub 4 < |m| < 5, czyli m ∈ (−5, −4) ∪ {0} ∪ (4, 5).
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Funkcje” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, próbna grudzień 2022, zad. 2.2. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.