Zadanie 13.2
Funkcja f jest określona wzorem f(x) = (12x − 84)/(x − 8) dla każdego x ∈ (−∞, 8).
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) rozważamy wszystkie czworokąty OBCD, w których:
• wierzchołek O ma współrzędne (0, 0)
• wierzchołki B oraz D są punktami przecięcia wykresu funkcji f z osią – odpowiednio – Ox i Oy
• wierzchołek C ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji f
(zobacz rysunek).
Pole P czworokąta OBCD w zależności od pierwszej współrzędnej x punktu C jest określone wzorem
P(x) = (21/4) · (x² − 56)/(x − 8)
dla x ∈ (0, 7).
Oblicz współrzędne wierzchołka C, dla których pole czworokąta OBCD jest największe. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: x = 8 − k√2, k = 2; y = 12 − k√2, k = 3
P′(x) = 21/4 · [2x(x − 8) − (x² − 56)]/(x − 8)² = 21/4 · (x² − 16x + 56)/(x − 8)².
x² − 16x + 56 = 0: x = 8 ± 2√2; w (0, 7) leży tylko 8 − 2√2.
P′ > 0 na (0, 8 − 2√2), P′ < 0 na (8 − 2√2, 7) – maksimum dla x = 8 − 2√2.
y = (12x − 84)/(x − 8) = (96 − 24√2 − 84)/(−2√2) = (12 − 24√2)/(−2√2) = 12 − 3√2.
C = (8 − 2√2, 12 − 3√2)
Źródło: CKE, matura rozszerzona, próbna grudzień 2024, zad. 13.2. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.