Zadanie 12
W trójkącie ostrokątnym ABC miara kąta BAC jest dwa razy większa od miary kąta ABC. Punkt D jest środkiem boku AB. Niech α oznacza miarę kąta ABC, natomiast β – miarę kąta ADC (zobacz rysunek).
Oblicz (tg β)/(sin(2α)). Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Wartość = 2
k – prosta prostopadła do AB przez D, F – obraz C w symetrii względem k, E – rzut C na AB.
ABFC jest trapezem równoramiennym (|AC| = |BF|, CF ∥ AB). ∡CBF = ∡CAB − ∡CBA = 2α − α = α oraz ∡BCF = ∡ABC = α, więc trójkąt BCF jest równoramienny: |CF| = |BF| = |AC|.
tg β = |CE|/|ED|, sin 2α = |CE|/|AC|, więc tg β/sin 2α = |AC|/|ED|.
D jest środkiem AB, a E rzutem C, więc |ED| = ½|CF| = ½|AC|.
tg β/sin 2α = 2
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Trygonometria” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, próbna grudzień 2024, zad. 12. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.