Lekcja · matura podstawowa

Liczby rzeczywiste

Zbiory liczbowe, przedziały i działania na nich, wartość bezwzględna jako odległość na osi, logarytmy oraz błąd przybliżenia. Około 20 minut.

  1. Zbiory liczbowe
  2. Przedziały i działania
  3. Wartość bezwzględna
  4. Oś liczbowa – pobaw się
  5. Logarytmy
  6. Błąd przybliżenia
  7. Sprawdź się

1 Zbiory liczbowe

Każdy kolejny zbiór zawiera poprzedni:

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
ZbiórCo zawieraPrzykłady
ℕliczby naturalne (w szkole razem z zerem)0, 1, 2, 3, …
ℤliczby całkowite…, −2, −1, 0, 1, 2, …
ℚliczby wymierne – dają się zapisać jako ułamek p/q, gdzie p, q ∈ ℤ, q ≠ 0−7/4, 0,75, 0,(3)
ℝ ∖ ℚliczby niewymierne – nie da się ich zapisać jako ułamka√2, √3, π

Liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone albo nieskończone okresowe:

3/4 = 0,75 1/3 = 0,333… = 0,(3)

Liczba niewymierna ma rozwinięcie nieskończone i nieokresowe:

√2 = 1,41421356…

Uwaga na egzaminie: znak pierwiastka nie oznacza jeszcze liczby niewymiernej! Najpierw sprawdź, czy pierwiastek się „wyciąga”: √16 = 4 ∈ ℕ Suma liczby wymiernej i niewymiernej jest zawsze niewymierna (np. 1 + √2), ale iloczyn dwóch niewymiernych może być wymierny: √2 · √8 = √16 = 4

Potęgi, pierwiastki i procenty mają osobne lekcje: Potęgi, Pierwiastki, Procenty.

2 Przedziały i działania na nich

Przedział to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych leżących między dwiema liczbami. Nawias kwadratowy – koniec należy do przedziału, okrągły – nie należy.

ZapisNierównośćNazwa
[a; b]a ≤ x ≤ bdomknięty
(a; b)a < x < botwarty
[a; b)a ≤ x < blewostronnie domknięty
(−∞; b]x ≤ bnieograniczony
(a; +∞)x > anieograniczony

Na osi koniec należący do przedziału zaznaczamy zamalowanym kółkiem, a nienależący – pustym.

Działania na zbiorach A i B:

  • suma A ∪ B – liczby, które należą do A lub do B,
  • część wspólna A ∩ B – liczby, które należą jednocześnie do A i do B,
  • różnica A ∖ B – liczby z A, które nie należą do B.

Uwaga na egzaminie: przy ∞ i −∞ nawias jest zawsze okrągły. W różnicy A ∖ B końce „zabrane” przez B zmieniają nawias: jeśli koniec należał do B, to w wyniku już go nie ma.

Przykład 1. Dane są przedziały A = (−3; 5] i B = [1; 7). Wyznacz A ∪ B, A ∩ B oraz A ∖ B.
  1. Zapisujemy oba przedziały nierównościami:A: −3 < x ≤ 5B: 1 ≤ x < 7Na osi przedziały zachodzą na siebie między 1 a 5.
  2. Przedziały zachodzą na siebie, więc suma to jeden przedział – od najmniejszego lewego końca do największego prawego:A ∪ B = (−3; 7)
  3. Część wspólna – tylko fragment, w którym są oba przedziały. Liczba 1 należy do A i do B, liczba 5 też:A ∩ B = [1; 5]
  4. Różnica – z A usuwamy wszystko, co leży w B. Liczba 1 należy do B, więc wypada z wyniku:A ∖ B = (−3; 1)Dla porównania:B ∖ A = (5; 7)

3 Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej. Nigdy nie jest ujemna.

|x| = x dla x ≥ 0
|x| = −x dla x < 0
|−5| = 5,   |5| = 5,   |0| = 0

Najważniejsza interpretacja: |x − a| to odległość liczby x od liczby a na osi. Dla r > 0:

|x − a| ≤ r  ⇔  x ∈ [a − r; a + r]
|x − a| ≥ r  ⇔  x ∈ (−∞; a − r] ∪ [a + r; +∞)

Przy nierównościach ostrych (<, >) końce nie należą do zbioru – nawiasy są okrągłe.

Typowy błąd: w |x + 2| środkiem jest −2, a nie 2, bo |x + 2| = |x − (−2)| Pamiętaj też: nierówność |x − a| < 0 nie ma rozwiązań, a |x − a| ≥ 0 spełnia każda liczba rzeczywista.

Przykład 2. Rozwiąż nierówność |x + 2| > 3 i zapisz zbiór rozwiązań.
  1. Zapisujemy wyrażenie jako odległość od punktu:|x − (−2)| > 3Szukamy liczb, których odległość od a = −2 jest większa niż r = 3.
  2. Wyznaczamy punkty odległe od −2 dokładnie o 3:−2 − 3 = −5−2 + 3 = 1
  3. Rozwiązania leżą „na zewnątrz” – na lewo od −5 lub na prawo od 1. Nierówność jest ostra, więc końce odpadają:x < −5 lub x > 1
  4. Odpowiedź:x ∈ (−∞; −5) ∪ (1; +∞)Sprawdzenie dla x = 2 (należy) i x = 0 (nie należy):|2 + 2| = 4 > 3 ✓|0 + 2| = 2, a 2 > 3 to fałsz ✓

4 Oś liczbowa – pobaw się

Ustaw środek a, promień r i znak nierówności. Na osi zobaczysz zbiór rozwiązań, a obok – jego zapis jako przedział.

Znak:

5 Logarytmy

Logarytm odpowiada na pytanie: do jakiej potęgi trzeba podnieść a, żeby otrzymać b?

loga b = c  ⇔  ac = b

Założenia: a > 0, a ≠ 1, b > 0. Zapis log b (bez podstawy) oznacza logarytm o podstawie 10.

log2 8 = 3, bo 23 = 8 log3 (1/9) = −2, bo 3−2 = 1/9 log5 √5 = 1/2, bo 51/2 = √5 log 1000 = 3, bo 103 = 1000

Wartości, które warto znać na pamięć:

loga 1 = 0,   loga a = 1,   loga an = n

Wzory na działania (są w karcie wzorów) – dla b, c > 0:

logarytm iloczynuloga(b · c) = loga b + loga c
logarytm ilorazuloga(b / c) = loga b − loga c
logarytm potęgiloga(bn) = n · loga b

Typowy błąd: nie ma wzoru na logarytm sumy! Zapis loga(b + c) = loga b + loga c jest fałszywy. Wzory stosujemy tylko do logarytmów o tej samej podstawie.

Przykład 3. Oblicz 2 log5 10 − log5 4.
  1. Współczynnik 2 „wchodzi” do wykładnika (logarytm potęgi):2 log5 10 = log5 102 = log5 100
  2. Różnica logarytmów o tej samej podstawie to logarytm ilorazu:log5 100 − log5 4 = log5 (100 / 4) = log5 25
  3. Pytamy: do jakiej potęgi podnieść 5, żeby otrzymać 25?52 = 25
  4. Wynik:2 log5 10 − log5 4 = 2

6 Błąd bezwzględny i względny

Niech x będzie wartością dokładną, a p – jej przybliżeniem.

błąd bezwzględny:  |x − p|
błąd względny:  |x − p| / |x| (często · 100%)

Na przykład liczbę x = 2/3 przybliżamy liczbą p = 0,6. Błąd bezwzględny:

|2/3 − 3/5| = |10/15 − 9/15| = 1/15

Błąd względny:

(1/15) : (2/3) = 1/15 · 3/2 = 1/10 = 10%

Uwaga na egzaminie: w błędzie względnym dzielimy przez wartość dokładną x, a nie przez przybliżenie. Błąd bezwzględny jest zawsze liczbą nieujemną – stąd wartość bezwzględna we wzorze.

7 Sprawdź się

Przećwicz na zadaniach z egzaminów

W banku są zadania CKE i warianty Matmoo z działu Liczby rzeczywiste – z podpowiedziami i rozwiązaniami.

Powtórz dział „Liczby rzeczywiste” (matura) Otwórz bank zadań