Zadanie 29
Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym 200 i kącie ostrym o mierze 30°.
Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od długości x boku równoległoboku.
Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz to największe pole.
Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: P(x) = ax² + bx. a = -1/2; b = 50; Dziedzina funkcji P = (0; 100); x = 50; Największe pole = 1250
Boki x i y: 2x + 2y = 200, więc y = 100 − x, x ∈ (0, 100).
P(x) = x · y · sin 30° = ½ · x(100 − x) = −½x² + 50x.
Parabola ma ramiona w dół, wierzchołek w x = −50/(2 · (−½)) = 50 ∈ (0, 100).
Wtedy y = 50 i P(50) = ½ · 50 · 50 = 1250.
Największe pole 1250 ma romb o boku 50.
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Funkcje” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura podstawowa, przykładowy arkusz 2023, zad. 29. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.