Zadanie 10
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
mx² − (m + 1)x − 2m + 3 = 0
ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste x₁ oraz x₂, spełniające warunki:
x₁ ≠ 0, x₂ ≠ 0 oraz 1/x₁² + 1/x₂² < 1
Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Z warunku Δ > 0: m ∈ = (−∞; 1/9) ∪ (1; +∞); Z warunku 1/x₁² + 1/x₂² < 1: m ∈ = (−8,898979; 0) ∪ (0; 0,898979); Odpowiedź: m ∈ = (−8,898979; 0) ∪ (0; 1/9)
Równanie kwadratowe: m ≠ 0. Δ = (m + 1)² − 4m(3 − 2m) = 9m² − 10m + 1 = (9m − 1)(m − 1) > 0: m < 1/9 lub m > 1.
x₁, x₂ ≠ 0: x₁x₂ = (3 − 2m)/m ≠ 0, czyli m ≠ 3/2.
1/x₁² + 1/x₂² = [(x₁ + x₂)² − 2x₁x₂]/(x₁x₂)² = (5m² − 4m + 1)/(3 − 2m)² < 1
5m² − 4m + 1 < 4m² − 12m + 9, czyli m² + 8m − 8 < 0 i m ≠ 0: m ∈ (−4 − 2√6, 0) ∪ (0, −4 + 2√6).
Część wspólna (m ≠ 0): m ∈ (−4 − 2√6, 0) ∪ (0, 1/9).
Źródło: CKE, matura rozszerzona, czerwiec 2023, zad. 10. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.