Zadanie 4
Funkcja f jest określona wzorem f(x) = 2x³ − 4x² + 9x dla każdego x ∈ ℝ.
Punkt P = (x₀, 18) należy do wykresu funkcji f.
Oblicz x₀ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: x₀ = 2; Styczna y = ax + b: a = 17; b = -16
2x₀³ − 4x₀² + 9x₀ = 18, czyli 2x₀²(x₀ − 2) + 9(x₀ − 2) = 0, (2x₀² + 9)(x₀ − 2) = 0, x₀ = 2.
f′(x) = 6x² − 8x + 9, a = f′(2) = 24 − 16 + 9 = 17.
18 = 17 · 2 + b, b = −16. Styczna: y = 17x − 16.
Źródło: CKE, matura rozszerzona, czerwiec 2023, zad. 4. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.