Zadanie 7
Dany jest nieskończony szereg geometryczny
2x − 6x/(x − 1) + 18x/(x − 1)² − 54x/(x − 1)³ + …
Wyznacz wszystkie wartości zmiennej x (różnej od 0 i od 1), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa 15/2. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Suma istnieje dla x ∈ (−∞, a) ∪ (b, +∞). a = -2; b = 4; x = 6
a₁ = 2x, q = −3/(x − 1). Suma istnieje, gdy |q| < 1: |x − 1| > 3, czyli x ∈ (−∞, −2) ∪ (4, +∞).
S = 2x/(1 + 3/(x − 1)) = 2x(x − 1)/(x + 2) = 15/2
4x(x − 1) = 15(x + 2), 4x² − 19x − 30 = 0: x = 6 lub x = −5/4 (poza dziedziną zbieżności).
x = 6
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Ciągi” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, czerwiec 2023, zad. 7. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.