Zadanie 10
Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa a. Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka graniastosłupa jest równy √11/6.
Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Wysokość h: h² = k · a², k = 2; Pc = (√3/2 + c√2) · a², c = 3
Przekątne ścian bocznych z jednego wierzchołka mają długość √(H² + a²), a kąt α między nimi: sin α = √11/6, więc cos α = 5/6 (α ostry).
Tw. cosinusów w trójkącie z tymi przekątnymi i krawędzią podstawy a:
a² = 2(H² + a²) − 2(H² + a²) · 5/6 = (H² + a²)/3
H² = 2a², H = a√2.
Pc = 2 · a²√3/4 + 3 · a · a√2 = (√3/2 + 3√2) · a²
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Stereometria” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, czerwiec 2024, zad. 10. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.