Zadanie 11
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) prosta o równaniu 3x + y + 2 = 0 przecina parabolę o równaniu y = x² − 2x − 8 w punktach A oraz B, które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD. Wierzchołek A ma pierwszą współrzędną ujemną. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y = −1/2 x + 1 i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu C od prostej zawierającej bok AB równoległoboku jest równa 9√10/5.
Oblicz długość boku BC tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Pierwsza współrzędna B = 2; Pierwsza współrzędna C = 6; |BC|² = 52
A i B: 3x + x² − 2x − 8 + 2 = 0, czyli x² + x − 6 = 0: x = −3 lub x = 2. A = (−3, 7), B = (2, −8).
C = (c, −½c + 1), c > 0. Odległość od prostej 3x + y + 2 = 0:
|3c − ½c + 1 + 2|/√10 = 9√10/5, czyli |2,5c + 3| = 18: c = 6 (drugie c ujemne).
C = (6, −2), |BC| = √(4² + 6²) = √52 = 2√13.
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Geometria analityczna” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, czerwiec 2024, zad. 11. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.