Zadanie 9
Rozwiąż równanie
sin(6x) + √3 · sin(5x) + sin(4x) = 0
Zapisz obliczenia.
Zmienione względem arkusza CKE: W arkuszu podajesz wszystkie rozwiązania równania; tutaj wpisujesz liczbę rozwiązań w [0, 2π) i jedno z nich.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Liczba rozwiązań w przedziale [0, 2π) = 12; Rozwiązanie z przedziału (π/2, π) niebędące wielokrotnością π/5: x = kπ, k = 5/6
sin 6x = sin(5x + x), sin 4x = sin(5x − x); po zsumowaniu: sin 6x + sin 4x = 2 sin 5x cos x.
sin 5x (2cos x + √3) = 0
sin 5x = 0: x = kπ/5; cos x = −√3/2: x = ±5π/6 + 2kπ.
W [0, 2π): 10 rozwiązań kπ/5 (k = 0, …, 9) oraz 5π/6 i 7π/6 – razem 12. W (π/2, π) rozwiązaniem niebędącym wielokrotnością π/5 jest 5π/6.
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Trygonometria” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, czerwiec 2024, zad. 9. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.