Zadanie 7
Nieskończony ciąg geometryczny (aₙ) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Suma wszystkich wyrazów ciągu (aₙ) o numerach nieparzystych jest równa 16, tj.
a₁ + a₃ + a₅ + … = 16
Ponadto a₁ + a₃ = 5/2 · a₂.
Wyznacz wzór ogólny na n–ty wyraz ciągu (aₙ). Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: q = 1/2; a₁ = 12
a₁ + a₁q² = 5/2 · a₁q. Dla a₁ ≠ 0: q² − 5/2 · q + 1 = 0, q = 2 lub q = 1/2.
Wyrazy o numerach nieparzystych tworzą ciąg geometryczny o ilorazie q², a ich suma istnieje, więc q² < 1: q = 1/2.
a₁/(1 − 1/4) = 16, a₁ = 12.
aₙ = 12 · (1/2)ⁿ⁻¹
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Ciągi” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, czerwiec 2024, zad. 7. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.