Zadanie 8
W okrąg o promieniu 4 wpisano trójkąt ABC. Długość boku AB jest równa 6. Bok BC ma długość 4√3 i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta.
Oblicz długość boku AC trójkąta ABC. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Miara kąta BAC (w stopniach) = 120; |AC| = √k − 3, k = 21
Tw. sinusów: |BC|/sin∡BAC = 2R = 8, więc sin∡BAC = 4√3/8 = √3/2: kąt 60° lub 120°.
BC jest najdłuższym bokiem, więc kąt BAC jest największym kątem trójkąta. Gdyby miał 60°, wszystkie kąty byłyby równe 60° i trójkąt byłby równoboczny – a |AB| = 6 ≠ 4√3. Zatem ∡BAC = 120°.
Tw. cosinusów: 48 = |AC|² + 36 − 2 · 6 · |AC| · (−½), czyli |AC|² + 6|AC| − 12 = 0.
|AC| = −3 + √21 (drugi pierwiastek ujemny).
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Trygonometria” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, czerwiec 2024, zad. 8. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.