Zadanie 10
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny ABCD o podstawie ABC. Płaszczyzna zawierająca krawędź AB podstawy i prostopadła do krawędzi bocznej CD przecina tę krawędź w punkcie E, przy czym |CE|/|DE| = 3/11.
Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej tego ostrosłupa do pola podstawy ABC. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Stosunek = 6
|CE| = 3x, |ED| = 11x, więc krawędź boczna |CD| = |BD| = 14x.
BE ⊥ CD. Trójkąt BED: |BE|² = (14x)² − (11x)² = 75x², |BE| = 5√3 x.
Trójkąt BCE: |BC|² = 9x² + 75x² = 84x², |BC| = 2√21 x.
BE jest wysokością ściany BCD, więc pole boczne: Pb = 3 · ½ · 14x · 5√3 x = 105√3 x².
Pole podstawy: Pp = (2√21 x)² · √3/4 = 21√3 x².
(Pb + Pp)/Pp = 126/21 = 6
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Stereometria” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, czerwiec 2025, zad. 10. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.