Zadanie 9
Ciąg (aₙ), określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu a₆ = 15 oraz a₁₅ = a₃ · (a₈ − 6).
Ciąg (bₙ), określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, jest geometryczny i b₁ = a₁₁ oraz b₂ = a₆.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (bₙ). Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Różnica ciągu (aₙ) r = 4; b₁ = 35; q = 3/7; Suma = 245/4
a₁₅ = a₆ + 9r, a₃ = a₆ − 3r, a₈ = a₆ + 2r:
15 + 9r = (15 − 3r)(9 + 2r)
15 + 9r = 135 + 3r − 6r²
6r² + 6r − 120 = 0, r² + r − 20 = 0: r = 4 lub r = −5.
Ciąg rośnie, więc r = 4.
b₁ = a₁₁ = 15 + 5 · 4 = 35, b₂ = a₆ = 15, q = 15/35 = 3/7, |q| < 1.
S = 35/(1 − 3/7) = 35 · 7/4 = 245/4
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Ciągi” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, czerwiec 2025, zad. 9. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.