Zadanie 5
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
x² + 2mx + 2m − 1 = 0
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x₁, x₂ spełniające warunek
m(x₁² + x₂²) = 3m · x₁ · x₂ + 2
Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Warunek Δ > 0 jest spełniony dla każdego m ≠ c, c = 1; m = 2
Δ = 4m² − 4(2m − 1) = 4(m − 1)² > 0 dla m ≠ 1.
Wzory Viète'a: x₁ + x₂ = −2m, x₁x₂ = 2m − 1; x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂.
m · [4m² − 2(2m − 1)] = 3m(2m − 1) + 2
4m³ − 4m² + 2m = 6m² − 3m + 2
4m³ − 10m² + 5m − 2 = 0
(m − 2)(4m² − 2m + 1) = 0
4m² − 2m + 1 = 3m² + (m − 1)² > 0, więc jedynym rozwiązaniem jest m = 2 (≠ 1).
Odpowiedź: m = 2.
Źródło: CKE, matura rozszerzona, czerwiec 2025, zad. 5. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.