Zadanie 7
Na czworokącie wypukłym ABCD o bokach długości: |AB| = 3, |BC| = 3, |CD| = 5 oraz |DA| = 8, opisano okrąg.
Oblicz promień tego okręgu. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: |BD| = 7; R = k√3/3, k = 7
d = |BD|, α = ∡BAD, γ = ∡BCD = 180° − α (czworokąt wpisany w okrąg).
Tw. cosinusów: d² = 9 + 64 − 48cos α oraz d² = 9 + 25 − 30cos γ = 34 + 30cos α.
73 − 48cos α = 34 + 30cos α, więc cos α = 1/2, α = 60°.
d² = 73 − 24 = 49, d = 7.
Okrąg jest opisany na trójkącie ABD, tw. sinusów: d/sin α = 2R, więc R = 7/(2 · √3/2) = 7/√3 = 7√3/3.
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Planimetria” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, czerwiec 2025, zad. 7. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.