Zadanie 8
Wielomian f zmiennej rzeczywistej x jest określony wzorem f(x) = x³ + ax² + bx + c, gdzie a, b, c ∈ ℝ. Liczba (−2) jest miejscem zerowym tego wielomianu. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) styczna do wykresu wielomianu f w punkcie A o pierwszej współrzędnej równej (−2) przecina ten wykres w punkcie P = (1, 9).
Wyznacz wzór wielomianu f. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: a = 3; b = 3; c = 2
f(−2) = 0, więc A = (−2, 0). Styczna przechodzi przez A i P = (1, 9): współczynnik kierunkowy 9/3 = 3, więc f′(−2) = 3.
f′(x) = 3x² + 2ax + b: 12 − 4a + b = 3, więc b = 4a − 9.
f(−2) = 0: −8 + 4a − 2b + c = 0, więc c = 4a − 10.
f(1) = 9: 1 + a + b + c = 9, czyli 1 + a + 4a − 9 + 4a − 10 = 9, 9a = 27, a = 3.
b = 3, c = 2: f(x) = x³ + 3x² + 3x + 2.
Źródło: CKE, matura rozszerzona, czerwiec 2025, zad. 8. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.