Zadanie 11
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
x² + mx + m = 0
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x₁ oraz x₂ spełniające warunek
x₁⁴ + x₂⁴ + 4 · x₁³ · x₂³ ≥ 3
Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Z warunku Δ > 0: m ∈ = (−∞; 0) ∪ (4; +∞); Z warunku x₁⁴ + x₂⁴ + 4 · x₁³ · x₂³ ≥ 3: m ∈ = (−∞; −1] ∪ [1; +∞); Odpowiedź: m ∈ = (−∞; −1] ∪ (4; +∞)
Δ = m² − 4m > 0, czyli m ∈ (−∞, 0) ∪ (4, +∞).
Wzory Viète'a: x₁ + x₂ = −m, x₁x₂ = m.
x₁⁴ + x₂⁴ = (x₁² + x₂²)² − 2(x₁x₂)² = (m² − 2m)² − 2m².
Warunek: (m² − 2m)² − 2m² + 4m³ ≥ 3
m⁴ − 4m³ + 4m² − 2m² + 4m³ ≥ 3
m⁴ + 2m² − 3 ≥ 0, czyli (m² + 3)(m² − 1) ≥ 0: m ∈ (−∞, −1] ∪ [1, +∞).
Część wspólna z Δ > 0: m ∈ (−∞, −1] ∪ (4, +∞).
Źródło: CKE, matura rozszerzona, czerwiec 2026, zad. 11. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.