Zadanie 3

Matura rozszerzona czerwiec 2026 · Optymalizacja i rachunek różniczkowy · 3 pkt

Funkcja f jest określona wzorem f(x) = (ax² + x)/(x − 1) dla każdej liczby rzeczywistej x ≠ 1.

Wyznacz wszystkie wartości a, dla których pochodna funkcji f w punkcie x = a jest równa (−½a). Zapisz obliczenia.

Rozwiąż i sprawdź odpowiedź

Pokaż odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź: a = 2

f′(x) = [(2ax + 1)(x − 1) − (ax² + x)]/(x − 1)² = (ax² − 2ax − 1)/(x − 1)².
f′(a) = −a/2 (a ≠ 1):
(a³ − 2a² − 1)/(a − 1)² = −a/2
2a³ − 4a² − 2 = −a(a − 1)²
3a³ − 6a² + a − 2 = 0
(a − 2)(3a² + 1) = 0, więc a = 2.

Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Optymalizacja i rachunek różniczkowy” · cały arkusz na czas

Źródło: CKE, matura rozszerzona, czerwiec 2026, zad. 3. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.