Zadanie 7
Nieskończony ciąg geometryczny (aₙ) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 14. Suma sześcianów wszystkich wyrazów ciągu (aₙ) jest równa 392.
Wyznacz wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu (aₙ). Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: q = 1/2; a₁ = 7
Suma istnieje: a₁/(1 − q) = 14, |q| < 1, więc a₁ = 14(1 − q).
Sześciany tworzą ciąg geometryczny o ilorazie q³: a₁³/(1 − q³) = 392.
14³(1 − q)³/[(1 − q)(1 + q + q²)] = 392, czyli 7(1 − q)² = 1 + q + q²:
6q² − 15q + 6 = 0, q = 1/2 lub q = 2. Warunek |q| < 1 daje q = 1/2, a₁ = 7.
aₙ = 7 · (1/2)ⁿ⁻¹
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Ciągi” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, czerwiec 2026, zad. 7. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.