Zadanie 8
Trzywyrazowy ciąg (x, y, z) jest geometryczny. Jeżeli w tym ciągu pomniejszymy trzeci wyraz o 4, a pozostałe wyrazy pozostawimy bez zmian, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Jeżeli drugi i trzeci wyraz tak otrzymanego ciągu arytmetycznego pomniejszymy o 1, to otrzymamy nowy ciąg geometryczny.
Oblicz x, y oraz z. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Rozwiązanie z x całkowitym: y = 3; z = 9; Drugie rozwiązanie: x = 1/9; y = 7/9; z = 49/9
r – różnica ciągu (x, y, z − 4): y = x + r, z = x + 2r + 4.
(x, y, z) geometryczny: (x + r)² = x(x + 2r + 4), czyli r² = 4x.
(x, y − 1, z − 5) geometryczny: (x + r − 1)² = x(x + 2r − 1), czyli r² − 2r + 1 = x.
Stąd r² = 4(r² − 2r + 1), 3r² − 8r + 4 = 0: r = 2 lub r = 2/3.
r = 2: x = 1, y = 3, z = 9.
r = 2/3: x = 1/9, y = 7/9, z = 49/9.
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Ciągi” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, czerwiec 2026, zad. 8. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.