Zadanie 10
Określamy kwadraty K₁, K₂, K₃, … następująco:
• K₁ jest kwadratem o boku długości a
• K₂ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K₁ i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3
• K₃ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K₂ i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n ≥ 2,
• Kₙ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu Kₙ₋₁ i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3.
Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny.
Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Iloraz ciągu q = √k/4, k = 10; Suma = c · a, c ≈ (do 0,01) = 19.10
Wierzchołki kolejnego kwadratu dzielą boki w stosunku 1 : 3, więc bok kolejnego kwadratu to przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych a/4 i 3a/4:
a₂ = √(a²/16 + 9a²/16) = a√10/4. Każdy kolejny bok (i obwód) jest √10/4 razy mniejszy, q = √10/4 < 1.
Suma obwodów: 4a/(1 − √10/4) = 16a/(4 − √10) = 16a(4 + √10)/6 = 8(4 + √10)a/3 ≈ 19,10a.
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Ciągi” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, maj 2023, zad. 10. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.