Zadanie 11
Wyznacz wszystkie wartości parametru m ≠ 2, dla których równanie
x² + 4x − (m − 3)/(m − 2) = 0
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x₁, x₂ spełniające warunek x₁³ + x₂³ > −28. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Z warunku Δ > 0: m ∈ = (−∞; 2) ∪ (11/5; +∞); Z warunku x₁³ + x₂³ > −28: m ∈ = (2; 9/4); Odpowiedź: m ∈ = (11/5; 9/4)
Niech c = (m − 3)/(m − 2). Równanie: x² + 4x − c = 0, x₁ + x₂ = −4, x₁x₂ = −c.
Δ = 16 + 4c > 0, czyli c > −4: (m − 3)/(m − 2) + 4 = (5m − 11)/(m − 2) > 0, m ∈ (−∞, 2) ∪ (11/5, +∞).
x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ − 3x₁x₂(x₁ + x₂) = −64 − 12c > −28, czyli c < −3: (m − 3)/(m − 2) + 3 = (4m − 9)/(m − 2) < 0, m ∈ (2, 9/4).
Część wspólna: m ∈ (11/5, 9/4).
Źródło: CKE, matura rozszerzona, maj 2023, zad. 11. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.