Zadanie 3
Funkcja f jest określona wzorem f(x) = (3x² − 2x)/(x² + 2x + 8) dla każdej liczby rzeczywistej x.
Punkt P = (x₀, 3) należy do wykresu funkcji f.
Oblicz x₀ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: x₀ = -3; Styczna y = ax + b: a = -8/11; b = 9/11
3 = (3x₀² − 2x₀)/(x₀² + 2x₀ + 8): 3x₀² + 6x₀ + 24 = 3x₀² − 2x₀, 8x₀ = −24, x₀ = −3.
f′(x) = [(6x − 2)(x² + 2x + 8) − (3x² − 2x)(2x + 2)]/(x² + 2x + 8)² = (8x² + 48x − 16)/(x² + 2x + 8)².
a = f′(−3) = (72 − 144 − 16)/121 = −88/121 = −8/11.
3 = −8/11 · (−3) + b, b = 3 − 24/11 = 9/11.
y = −8/11 · x + 9/11
Źródło: CKE, matura rozszerzona, maj 2023, zad. 3. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.