Zadanie 11
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) środek S okręgu o promieniu √5 leży na prostej o równaniu y = x + 1. Przez punkt A = (1, 2), którego odległość od punktu S jest większa od √5, poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – B i C. Pole czworokąta ABSC jest równe 15.
Oblicz współrzędne punktu S. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: |AB| = k√5, k = 3; |AS|² = 50; Większa pierwsza współrzędna S = 6; Mniejsza pierwsza współrzędna S = -4
Promienie SB i SC są prostopadłe do stycznych, trójkąty ABS i ACS są prostokątne i przystające, m = |AB| = |AC|.
Pole ABSC = 2 · ½ · m · √5 = 15, więc m = 3√5.
|AS|² = m² + 5 = 45 + 5 = 50.
S = (s, s + 1): (s − 1)² + (s − 1)² = 50, (s − 1)² = 25: s = 6 lub s = −4.
S = (6, 7) lub S = (−4, −3).
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Geometria analityczna” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, maj 2024, zad. 11. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.