Zadanie 4
Funkcja f jest określona wzorem
f(x) = (x³ − 3x + 2)/x
dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkt P, o pierwszej współrzędnej równej 2, należy do wykresu funkcji f. Prosta o równaniu y = ax + b jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie P.
Oblicz współczynniki a oraz b w równaniu tej stycznej. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: f(2) = 2; a = 7/2; b = -5
f′(x) = [(3x² − 3)x − (x³ − 3x + 2)]/x² = (2x³ − 2)/x².
a = f′(2) = 14/4 = 7/2.
f(2) = (8 − 6 + 2)/2 = 2, styczna przechodzi przez (2, 2): 2 = 7/2 · 2 + b, b = −5.
Źródło: CKE, matura rozszerzona, maj 2024, zad. 4. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.