Zadanie 7
Trzywyrazowy ciąg (x, y, z) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105. Liczby x, y oraz z są – odpowiednio – pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego (aₙ), określonego dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1.
Oblicz x, y oraz z. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: x = 5; y = 20; z = 80
r – różnica ciągu arytmetycznego: y = x + r, z = x + 5r.
x + y + z = 3x + 6r = 105, więc x = 35 − 2r, y = 35 − r, z = 35 + 3r.
y² = xz: (35 − r)² = (35 − 2r)(35 + 3r), czyli 7r² − 105r = 0: r = 0 lub r = 15.
r = 0 daje ciąg stały (nie rosnący). r = 15: x = 5, y = 20, z = 80.
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Ciągi” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, maj 2024, zad. 7. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.