Zadanie 9
Dany jest kwadrat ABCD o boku długości a. Punkt E jest środkiem boku CD. Przekątna BD dzieli trójkąt ACE na dwie figury: AGF oraz CEFG (zobacz rysunek).
Oblicz pola figur AGF oraz CEFG. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Pole AGF = c · a², c = 1/12; Pole CEFG = c · a², c = 1/6
G – środek kwadratu (środek AC i BD). W trójkącie ACD odcinki AE i DG są środkowymi, więc F – ich punkt przecięcia – jest środkiem ciężkości: |FG| = ⅓|DG|.
Trójkąty AGF i AGD mają wspólną wysokość z A, więc P(AGF) = ⅓ · P(AGD) = ⅓ · ¼a² = a²/12.
P(ACE) = ½ · P(ACD) = ¼a², więc P(CEFG) = ¼a² − a²/12 = a²/6.
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Planimetria” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, maj 2024, zad. 9. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.