Zadanie 10
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Krawędź boczna SA jest wysokością ostrosłupa, natomiast krawędź podstawy ma długość 3√34. Cosinus kąta β między ścianami bocznymi CDS i BCS tego ostrosłupa jest równy (−9/25).
Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: |SC| = 34; |SA|² = 544; Pole powierzchni bocznej = 918
E – spodek wysokości ściany BCS z B, x = |BE|. Ściany BCS i DCS są przystające, więc |DE| = x, a ∡BED = β.
|BD| = 3√34 · √2. Z tw. cosinusów w BED: 36 · 17 = 2x² + 2x² · 9/25 = 2x² · 34/25, więc x² = 225, x = 15.
|CE|² = |BC|² − x² = 306 − 225 = 81, |CE| = 9.
Trójkąt BCS jest prostokątny (tw. o trzech prostopadłych: BC ⊥ AB, więc BC ⊥ SB). Trójkąty BCS i ECB są podobne: |CE|/|BC| = |BC|/|SC|, więc |SC| = 306/9 = 34.
|AS|² = |SC|² − |AC|² = 1156 − 612 = 544, |AS| = 4√34.
Ściany ABS i ADS: 2 · ½ · 3√34 · 4√34 = 408. Ściany BCS i CDS: 2 · ½ · |SC| · x = 34 · 15 = 510.
Pole powierzchni bocznej: 408 + 510 = 918.
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Stereometria” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, maj 2025, zad. 10. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.