Zadanie 3
W trójkącie równobocznym ABC punkt D leży na boku BC. Stosunek pola trójkąta ABD do pola trójkąta ADC jest równy (√3 − 1)/2.
Oblicz miarę kąta DAC. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Miara kąta DAC (w stopniach) = 45
a – bok trójkąta, b = |AD|, α = ∡DAC, wtedy ∡BAD = 60° − α.
P(ABD)/P(ADC) = (½ab · sin(60° − α))/(½ab · sin α) = sin(60° − α)/sin α = (√3 − 1)/2.
sin(60° − α) = sin 60° cos α − cos 60° sin α, więc
(√3/2) · ctg α − ½ = (√3 − 1)/2
(√3/2) · ctg α = √3/2, ctg α = 1, α = 45°.
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Trygonometria” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, maj 2025, zad. 3. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.