Zadanie 6
Ciąg (aₙ), określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu a₁ + a₃ = 20 i a₁² + a₃² = 328.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: a₁ = 18; Suma dla q > 0 = 27; Suma dla q < 0 = 27/2
a₃ = 20 − a₁, więc a₁² + (20 − a₁)² = 328, czyli 2a₁² − 40a₁ + 72 = 0, a₁² − 20a₁ + 36 = 0: a₁ = 2 lub a₁ = 18.
a₁ = 2, a₃ = 18: q² = 9, |q| = 3 – ciąg rozbieżny, odpada.
a₁ = 18, a₃ = 2: q² = 1/9, q = ±1/3 – ciąg zbieżny.
q = 1/3: S = 18/(1 − 1/3) = 27.
q = −1/3: S = 18/(1 + 1/3) = 27/2.
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Ciągi” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, maj 2025, zad. 6. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.