Zadanie 8
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są okręgi 𝒪₁ oraz 𝒪₂ o równaniach:
• 𝒪₁: (x − 1)² + (y + 3)² = 5
• 𝒪₂: (x − 2)² + (y − 4)² = 45.
Te okręgi przecinają się w punktach A oraz B. Punkt A ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt M spełnia warunek AM⃗ = −2 · BM⃗.
Oblicz współrzędne punktów A, B oraz M. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: A: pierwsza współrzędna = 16/5; A: druga współrzędna = -13/5; B: pierwsza współrzędna = -1; B: druga współrzędna = -2; M: pierwsza współrzędna = 2/5; M: druga współrzędna = -11/5
Odejmujemy równania okręgów stronami: 2x + 14y = −30, czyli x = −7y − 15.
Podstawiamy do równania O₂: (−7y − 17)² + (y − 4)² = 45, czyli 50y² + 230y + 260 = 0, 5y² + 23y + 26 = 0.
y = −13/5 (x = 16/5) lub y = −2 (x = −1).
A = (16/5, −13/5), B = (−1, −2).
AM⃗ = −2 · BM⃗: x_M − 16/5 = −2(x_M + 1) oraz y_M + 13/5 = −2(y_M + 2).
3x_M = 6/5, x_M = 2/5; 3y_M = −33/5, y_M = −11/5.
M = (2/5, −11/5)
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Geometria analityczna” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, maj 2025, zad. 8. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.