Zadanie 2
Ze zbioru ośmiu liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} losujemy bez zwracania osiem razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że wylosowane liczby utworzą ciąg, w którym iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów będzie liczbą podzielną przez 3. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: |A| = 1440; P(A) = 1/28
|Ω| = 8!. Iloczyn trzech kolejnych wyrazów jest podzielny przez 3, gdy wśród nich jest 3 albo 6 (jedyne wielokrotności 3 w zbiorze).
Jedna z nich musi być wśród a₁, a₂, a₃, druga wśród a₆, a₇, a₈, więc a₄, a₅ nie dzielą się przez 3. Wtedy trójki (a₃, a₄, a₅) i (a₄, a₅, a₆) wymuszają, że a₃ i a₆ to 3 i 6. Takie ustawienie zawsze spełnia warunek.
|A| = 2 · 6! = 1440
P(A) = 2 · 6!/8! = 2/56 = 1/28
Źródło: CKE, matura rozszerzona, maj 2026, zad. 2. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.