Zadanie 6
Dany jest ciąg arytmetyczny (aₙ) o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu jest większa od 6. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 1, a ostatni wyraz tego ciągu jest równy (−2025). Drugi, trzeci i szósty wyraz tego ciągu tworzą – w podanej kolejności – ciąg geometryczny.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (aₙ). Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Różnica r = -2; Liczba wyrazów n = 1014; Suma = -1026168
a₂ = 1 + r, a₃ = 1 + 2r, a₆ = 1 + 5r i a₃² = a₂ · a₆:
(1 + 2r)² = (1 + r)(1 + 5r)
1 + 4r + 4r² = 1 + 6r + 5r², czyli r² + 2r = 0: r = 0 lub r = −2.
r = 0 odpada (pierwszy i ostatni wyraz są różne). r = −2: (−1, −3, −9) jest geometryczny.
Liczba wyrazów: 1 + (n − 1)(−2) = −2025, n = 1014.
S = (1 − 2025)/2 · 1014 = −1012 · 1014 = −1 026 168
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Ciągi” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, maj 2026, zad. 6. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.