Zadanie 8
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS podstawa ABC jest trójkątem równobocznym. Długość okręgu opisanego na podstawie ABC jest równa 6√2π, a cosinus kąta między krawędziami bocznymi SB i SC jest równy 5/9.
Oblicz długość krawędzi podstawy ABC oraz cosinus kąta między ścianami bocznymi SAC i SBC tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Krawędź podstawy a = k√6, k = 3; cos β = 5/14
2πR = 6√2π, więc R = 3√2, a krawędź podstawy a = R√3 = 3√6.
α = ∡BSC, cos α = 2cos²(α/2) − 1 = 5/9, więc cos(α/2) = √7/3.
BD – wysokość ściany BCS z B (D na SC). Kąt SCB = 90° − α/2, więc ∡CBD = α/2 i x = |BD| = a · cos(α/2) = 3√6 · √7/3 = √42.
Z symetrii |AD| = x, a ∡ADB = β. Tw. cosinusów w ABD:
a² = 2x² − 2x² cos β: 54 = 84 − 84cos β, cos β = 30/84 = 5/14.
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Stereometria” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, maj 2026, zad. 8. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.