Zadanie 9
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A = (1, −1) oraz B = (4, 0) są wierzchołkami trójkąta ABC, w którym |CA| = |CB|. Jedno z ramion trójkąta ABC zawiera się w prostej o równaniu x + 2y − 4 = 0. Na boku AC tego trójkąta obrano taki punkt M, że |AM| : |MC| = 1 : 4.
Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie M i przechodzi przez punkt C. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Pierwsza współrzędna C = 2; Druga współrzędna C = 1; Okrąg (x − p)² + (y − q)² = r²: p = 6/5; q = -3/5; r² = 16/5
A nie leży na prostej x + 2y − 4 = 0, a B leży, więc zawiera ona ramię BC: C = (c, 2 − c/2).
|CA|² = |CB|²: (c − 1)² + (3 − c/2)² = (c − 4)² + (2 − c/2)², co daje 6c + 2(2 − c/2) − 14 = 0, c = 2. C = (2, 1).
AM⃗ = 1/5 · AC⃗ = 1/5 · [1, 2], więc M = (6/5, −3/5).
r² = |MC|² = (4/5)² + (8/5)² = 80/25 = 16/5.
(x − 6/5)² + (y + 3/5)² = 16/5
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Geometria analityczna” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, maj 2026, zad. 9. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.