Zadanie 10
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD. Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość a. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze α takim, że cos α = √10/10. Przez krawędź BC podstawy ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę π prostopadłą do ściany bocznej SAD.
Sporządź rysunek tego ostrosłupa, zaznacz na rysunku przekrój wyznaczony przez płaszczyznę π i nazwij figurę, która jest tym przekrojem. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
Zapisz obliczenia.
Zmienione względem arkusza CKE: W arkuszu trzeba też sporządzić rysunek i nazwać figurę przekroju; tutaj wpisujesz tylko wyniki obliczeń.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Wysokość ostrosłupa = k · a, k = 3/2; Pole przekroju = k · √10 · a², k = 27/100
G, P – środki AD i BC, O – środek podstawy, α – kąt SGO. Przekrój BCFE (EF ∥ AD) jest trapezem; R – środek EF, h = |RP| – wysokość trapezu. Płaszczyzna jest prostopadła do ściany SAD, więc ∡GRP = 90°.
cos α = |OG|/|SG|: |SG| = (a/2)/(√10/10) = √10a/2.
W trójkącie GRP: |RG| = a cos α = √10a/10, h = a sin α = 3√10a/10.
|RS| = |SG| − |RG| = 2√10a/5. Trójkąty EFS i ADS są podobne: |EF| = a · |RS|/|SG| = 0,8a.
P = (a + 0,8a)/2 · 3√10a/10 = 27√10a²/100
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Stereometria” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, próbna grudzień 2022, zad. 10. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.