Zadanie 9
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
x² − (m − 4)x + m² − 7m + 12 = 0
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x₁ oraz x₂, spełniające warunek
x₁³ + x₂³ < 5x₁² · x₂ + 5x₁ · x₂²
Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Z warunku Δ > 0: m ∈ = (8/3; 4); Odpowiedź: m ∈ = (20/7; 4)
Δ = (m − 4)² − 4(m² − 7m + 12) = −3m² + 20m − 32 = −3(m − 4)(m − 8/3) > 0: m ∈ (8/3, 4).
x₁³ + x₂³ < 5x₁x₂(x₁ + x₂), czyli (x₁ + x₂)[(x₁ + x₂)² − 3x₁x₂] < 5x₁x₂(x₁ + x₂).
Viète: x₁ + x₂ = m − 4, x₁x₂ = m² − 7m + 12 = (m − 3)(m − 4):
(m − 4)[(m − 4)² − 8(m² − 7m + 12)] < 0
(m − 4)(−7m² + 48m − 80) < 0, czyli −7(m − 4)²(m − 20/7) < 0: m > 20/7, m ≠ 4.
Część wspólna: m ∈ (20/7, 4).
Źródło: CKE, matura rozszerzona, próbna grudzień 2022, zad. 9. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.