Zadanie 7
Olejarnia wytwarza olej ekologiczny. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość produkcji musi wynosić co najmniej 480 litrów i nie może przekroczyć 530 litrów (ze względu na ograniczone moce produkcyjne). Przy poziomie produkcji (480 + x) litrów dziennie przeciętny koszt K (w złotych) wytworzenia jednego litra oleju jest równy
K(x) = (22x² − 621,5x + 23 430)/(480 + x), gdzie x ∈ [0, 50].
Oblicz, ile litrów oleju dziennie powinna wytworzyć olejarnia, aby przeciętny koszt produkcji jednego litra oleju był najmniejszy (z zachowaniem opłacalności produkcji). Oblicz ten najmniejszy przeciętny koszt.
Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: x = 15; Dzienna produkcja (l) = 495; Najmniejszy koszt (zł) = 38.50
K′(x) = [(44x − 621,5)(480 + x) − (22x² − 621,5x + 23 430)]/(480 + x)² = (22x² + 21 120x − 321 750)/(480 + x)².
K′(x) = 0: x² + 960x − 14 625 = 0, x = 15 (drugi pierwiastek −975 poza [0, 50]).
K′ < 0 na [0, 15), K′ > 0 na (15, 50] – minimum dla x = 15, czyli produkcji 495 l.
K(15) = (4950 − 9322,5 + 23 430)/495 = 19 057,5/495 = 38,50 zł.
Źródło: CKE, matura rozszerzona, próbna grudzień 2022, zad. 7. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.