Zadanie 10
Trzeci i piąty wyraz malejącego ciągu arytmetycznego (aₙ), określonego dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, spełniają warunek a₃ + a₅ = 10.
Trzywyrazowy ciąg (2a₁ + 4, a₄ − 1, −(1/8)a₇) jest geometryczny.
Oblicz wyrazy tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Różnica r = -3; Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego = 32; Drugi = 4; Trzeci = 1/2
a₃ + a₅ = 2a₁ + 6r = 10, więc a₁ = 5 − 3r.
(a₄ − 1)² = (2a₁ + 4) · (−⅛a₇): (a₁ + 3r − 1)² = 4² = 16 oraz 2a₁ + 4 = 14 − 6r, a₇ = 5 + 3r:
16 = −⅛(3r + 5)(14 − 6r), czyli 18r² − 12r − 198 = 0, 3r² − 2r − 33 = 0: r = −3 lub r = 11/3.
Ciąg maleje, więc r = −3, a₁ = 14, a₄ = 5, a₇ = −4.
Ciąg geometryczny: (32, 4, 1/2).
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Ciągi” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, próbna grudzień 2024, zad. 10. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.