Zadanie 11
Funkcja kwadratowa f zmiennej rzeczywistej x jest określona wzorem
f(x) = x² − 3x − m² + m + 3
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja f ma dwa różne miejsca zerowe x₁, x₂ spełniające warunek |x₁² − x₂²| ≤ 12. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Z warunku Δ > 0: m ∈ = (−∞; −1/2) ∪ (3/2; +∞); Z warunku |x₁² − x₂²| ≤ 12: m ∈ = [−1,736068; 2,736068]; Odpowiedź: m ∈ = [−1,736068; −1/2) ∪ (3/2; 2,736068]
Δ = 9 − 4(−m² + m + 3) = 4m² − 4m − 3 = (2m + 1)(2m − 3) > 0: m < −1/2 lub m > 3/2.
|x₁² − x₂²| = |x₁ − x₂| · |x₁ + x₂| = √Δ · 3 ≤ 12, czyli Δ ≤ 16:
4m² − 4m − 19 ≤ 0, pierwiastki (1 ± 2√5)/2 = ½ ± √5, więc m ∈ [½ − √5, ½ + √5].
Część wspólna: m ∈ [½ − √5, −½) ∪ (3/2, ½ + √5].
Źródło: CKE, matura rozszerzona, próbna grudzień 2024, zad. 11. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.