Zadanie 7
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są:
okrąg o równaniu (x + 1)² + (y − 3)² = 50 i punkty A = (6, 4) oraz B = (−6, 8).
Punkt C leży na tym okręgu i |AC| = |BC|.
Oblicz współrzędne punktu C. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: C leży na symetralnej AB: y = ax + b. a = 3; b = 6; Pierwsze współrzędne C to −1 ± √k, k = 5; Punkt z dodatnią pierwszą współrzędną: y = 3 + c√5, c = 3
|AC| = |BC|, więc C leży na symetralnej AB. Współczynnik AB: (8 − 4)/(−6 − 6) = −1/3, symetralna ma współczynnik 3 i przechodzi przez środek M = (0, 6): y = 3x + 6.
Podstawiamy do równania okręgu: (x + 1)² + (3x + 3)² = 50, czyli 10(x + 1)² = 50, (x + 1)² = 5.
x = −1 + √5: C = (√5 − 1, 3 + 3√5); x = −1 − √5: C = (−√5 − 1, 3 − 3√5).
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Geometria analityczna” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, próbna grudzień 2024, zad. 7. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.