Zadanie 10
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD i polu powierzchni bocznej równym P. Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych poprowadzonych z wierzchołka S ma miarę 2α.
Objętość tego ostrosłupa jest równa √(k · P³ · sin α · cos(2α)), gdzie k jest stałym współczynnikiem liczbowym.
Oblicz współczynnik k.
Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: k = √2 / c, c = 36
a – krawędź podstawy, h – wysokość ściany bocznej, SE i SF – wysokości sąsiednich ścian, |EF| = a√2/2.
sin α = (|EF|/2)/h = a√2/(4h), więc a = 2√2 h sin α. Pole boczne: P = 4 · ½ah = 2ah = 4√2 h² sin α.
H² = h² − a²/4 = h²(1 − 2sin²α) = h² cos 2α.
V² = (a²H/3)² = 64h⁶ sin⁴α cos 2α/9.
Podstawiamy h² = P/(4√2 sin α): V² = P³ sin α cos 2α/(18√2) = (√2/36) · P³ sin α cos 2α.
k = √2/36
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Stereometria” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, przykładowy arkusz 2023, zad. 10. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.