Zadanie 9
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkt A = (9, 12) jest wierzchołkiem trójkąta ABC. Prosta k o równaniu y = (1/2)x zawiera dwusieczną kąta ABC tego trójkąta. Okrąg 𝒪 o równaniu (x − 8)² + (y − 4)² = 16 jest wpisany w ten trójkąt.
Oblicz współrzędne punktu styczności prostej przechodzącej przez wierzchołki B i C tego trójkąta z okręgiem 𝒪.
Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Pierwsza współrzędna = 8; Druga współrzędna = 0
Prosta AB: y = ax + 12 − 9a, styczna do okręgu o środku (8, 4) i promieniu 4:
|8a − 4 + 12 − 9a|/√(a² + 1) = 4, czyli (8 − a)² = 16(a² + 1), 15a² + 16a − 48 = 0: a = 4/3 lub a = −12/5.
a = 4/3: AB: y = 4/3 · x, B – przecięcie z k: y = ½x, więc B = (0, 0). Okrąg jest styczny do osi Ox, więc BC leży na osi Ox i punkt styczności to (8, 0).
a = −12/5 daje kąt ABS rozwarty, co jest niemożliwe (to połowa kąta trójkąta).
Odpowiedź: (8, 0).
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Geometria analityczna” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, przykładowy arkusz 2023, zad. 9. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.