Zadanie 3
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (aₙ), określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (aₙ) jest równa 7, a suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 8.
Wyznacz wszystkie wartości n, dla których spełniona jest nierówność
|(S − Sₙ)/Sₙ| < 0,001
gdzie Sₙ oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu (aₙ).
Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: q = 1/2; a₁ = 4; Najmniejsze n spełniające nierówność = 10
S ≠ 0, więc |q| < 1. a₁ + a₂ + a₃ = a₁(1 − q³)/(1 − q) = S(1 − q³): 7 = 8(1 − q³), q³ = 1/8, q = 1/2.
S = 2a₁ = 8, więc a₁ = 4; Sₙ = 8(1 − (1/2)ⁿ).
(S − Sₙ)/Sₙ = (1/2)ⁿ/(1 − (1/2)ⁿ) = 1/(2ⁿ − 1) < 0,001, czyli 2ⁿ > 1001.
2⁹ = 512, 2¹⁰ = 1024: nierówność spełniają wszystkie n ≥ 10.
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Ciągi” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, przykładowy arkusz 2023, zad. 3. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.