Zadanie 4
Dane jest równanie
(x − 6) · [(m − 2)x² − 4(m + 3)x + m + 1] = 0
z niewiadomą x i parametrem m ∈ ℝ.
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których to równanie ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku.
Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: m ∈ = (−∞; −19/3) ∪ (2; 11) ∪ (11; +∞)
6 jest jednym rozwiązaniem, więc trójmian (m − 2)x² − 4(m + 3)x + m + 1 musi mieć dwa różne pierwiastki dodatnie, różne od 6.
m ≠ 2 (dla m = 2 jest tylko jeden pierwiastek).
Δ = 16(m + 3)² − 4(m − 2)(m + 1) = 12m² + 100m + 152 > 0: m < −19/3 lub m > −2.
x₁x₂ = (m + 1)/(m − 2) > 0: m < −1 lub m > 2.
x₁ + x₂ = 4(m + 3)/(m − 2) > 0: m < −3 lub m > 2.
6 nie jest pierwiastkiem: 36(m − 2) − 24(m + 3) + m + 1 = 13m − 143 ≠ 0, m ≠ 11.
Odpowiedź: m ∈ (−∞, −19/3) ∪ (2, 11) ∪ (11, +∞).
Źródło: CKE, matura rozszerzona, przykładowy arkusz 2023, zad. 4. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.