Zadanie 6.2
Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) za pomocą fragmentów wykresów funkcji f oraz g (zobacz rysunek).
Funkcje f oraz g są określone wzorami f(x) = x² oraz g(x) = −(1/2)(x − 1/2)² + 4.
Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt P = (−1, 1).
Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej.
Oblicz współrzędne punktu K, w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca K toru od początku P) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru.
Zapisz obliczenia.
Wskazówka.
Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu R leżącego na wykresie funkcji g od punktu P wyraża się wzorem
|PR| = √((1/4)x⁴ − (1/2)x³ − (13/8)x² + (39/8)x + 593/64)
gdzie x jest pierwszą współrzędną punktu R.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Pierwsza współrzędna K = 3/2; Druga współrzędna K = 7/2; |PK|² = 25/2
Każdy punkt łuku wykresu f (między punktami przecięcia wykresów) leży nie dalej od P niż prawy punkt przecięcia B, więc najdalszy punkt leży na wykresie g. Wykresy przecinają się dla 12x² − 4x − 31 = 0, czyli x = (1 ± √94)/6 (≈ −1,45 i ≈ 1,78).
Badamy k(x) = |PR|² = ¼x⁴ − ½x³ − 13/8 · x² + 39/8 · x + 593/64.
k′(x) = x³ − 3/2 · x² − 13/4 · x + 39/8 = ⅛(4x² − 13)(2x − 3); w dziedzinie zeruje się tylko dla x = 3/2 (±√13/2 leżą poza nią).
k′ > 0 przed 3/2 i k′ < 0 po, więc maksimum dla x = 3/2: g(3/2) = −½ + 4 = 7/2.
K = (3/2, 7/2), |PK|² = (5/2)² + (5/2)² = 25/2, |PK| = 5√2/2.
Źródło: CKE, matura rozszerzona, przykładowy arkusz 2023, zad. 6.2. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.